Teorema di Arrow: seguito della dimostrazione

Proseguendo la dimostrazione riportata nell’articolo a questo link, dimostriamo che l’elettore che abbiamo chiamato Mister X, oltre che essere sicuramente decisivo per una data scelta A>B, lo è per qualunque alternativa fra i candidati.

Nella prima parte della dimostrazione abbiamo visto che Mister X, che potremmo a questo punto chiamare anche “il dittatore“, risulta decisivo per A su B.
Vediamo cosa succede se consideriamo l’alternativa fra A e Q, dove Q è un candidato Qualsiasi.

X P
A B
B Q
Q A

 

Già sappiamo che X è decisivo per A su B e quindi a livello globale deve essere A>B.
Per l’assioma di unanimità deve essere B>Q perchè è preferito sia da X che da P.
Per la proprietà transitiva A>B>Q implica A>Q.
Ma siccome A vince su Q nonostante P sia in disaccordo, risulta che X è decisivo nel far vincere A su Q.

Consideriamo adesso l’effetto che fa l’opinione del dittatore considerando C e un’alternativa qualsiasi che non sia A.

X P
C Q
A C
Q A

 

Abbiamo stabilito sopra che A>Q.
Per l’assioma di unanimità C>A (sono tutti d’accordo su questo, sia X che P).
Per la proprietà transitiva C>A>Q implica che C>Q.
Ancora una volta questo rispecchia il volere del dittatore e non quello di P quindi X è decisivo nel confronto fra Q e C.

Infine consideriamo il caso in cui il confronto sia fra C e A in presenza di un altro candidato Qualsiasi.

X P
C Q
Q A
A C

 

Sappiamo da sopra che C>Q.
Per l’assioma di unanimità Q>A.
Per la proprietà transitiva C>Q>A implica che C>A.
Ancora una volta C>A rispecchia la volontà del dittatore contro quella di tutti gli altri, quindi X è decisivo anche in questo caso.