Io so che tu sai che io so…

[cml_media_alt id='2213']resize[/cml_media_alt]Vi è una branca della logica detta logica modale che si occupa di formalizzare il modo in cui le proposizioni possono essere vere o false. La logica modale si occupa di affermazioni del tipo “E’ possibile che…” oppure “E’ necessario che…”
All’interno della logica modale si distingue a sua volta una modalità epistemica che fa uso di operatori di conoscenza e credenza. Si occupa quindi di espressioni del tipo “Conosco che….”, “Credo che…”.
Nella cornice della logica modale si definisce il concetto di conoscenza comune. Si dice che una particolare informazione P è conoscenza comune se tutti gli agenti ne sono a conoscenza, ma anche che tutti sanno che tutti conoscono P, ma anche che tutti sanno che tutti sanno di conoscere P… e così via all’infinito.

Questo concetto, che può sembrare particolarmente assurdo a causa del regresso all’infinito, unito all’ipotesi che tutti gli agenti siano perfettamente razionali e quindi che compiano sempre delle scelte ottimali per salvaguardare il proprio interesse, porta alla formulazione di enigmi logici sorprendenti e divertenti in cui la loro soluzione e possibile solo sfruttando proprio l’ipotesi di conoscenza comune.
In questo articolo vi presento una raccolta di enigmi facilmente reperibili in rete in cui il concetto di conoscenza comune è centrale per la loro risoluzione.

L’enigma dei prigionieri col cappello

Quattro briganti della famigerata Banda del Cappello sono stati finalmente catturati dopo estenuanti ricerche da parte della guardia reale e per i loro efferati delitti sono stati condannati a morte.
Durante il parapiglia della cattura, i copricapi stravaganti da cui prende il nome la loro banda sono mischiati e quando finalmente i malfattori sono messi in catene, le guardie rimettono loro in testa i cappelli così come vengono rinvenuti, sì che ogni prigioniero non sa più quale cappello indossi sulla propria testa.
Per evitare sorprese durante l’esecuzione, i prigionieri sono stati sotterrati in modo che solo la testa col caratteristico cappello sia visibile, come in figura.

[cml_media_alt id='2228']prigionieri[/cml_media_alt]

In uno slancio di generosità il boia concende a ciascuno di loro di potersi salvare nel caso in cui sia in grado di dichiarare il colore del cappello che ha in testa e concede loro 10 minuti per cercare di dare la propria risposta.
Sappiamo anche che:

  • I prigionieri possono guardare solo nella direzione in cui sono orientati
  • Forma e dimensioni dei cappelli sono ininfluenti e i prigionieri non possono farseli cadere dalla testa in modo da vederne il colore
  • Fra A e B c’è un muro che impedisce al prigioniero da un lato di vedere quelli dall’altro e viceversa
  • I 4 uomini sanno di avere 4 cappelli, di cui 2 sono bianchi e 2 sono neri.
  • Nessuno di loro sa di che colore è il suo cappello
  • Non possono parlare tra di loro.

Dopo un minuto uno di loro dà la risposta giusta e ha salva la vita.
Chi è e come ha fatto?

I dati presentati nell’elenco di cui sopra sono conoscenza comune perchè non solo tutti i prigionieri ne sono a conoscenza ma ciascun prigioniero sa anche che tutti i propri compagni possiedono le stesse informazioni. Il prigioniero che riesce a dare la risposta corretta deve basare il proprio ragionamento sull’uso che possono fare i suoi compagni della conoscenza comune.
Per i prigionieri A e B, essendo affacciati al muro, non c’è nessuna speranza in quanto non hanno informazioni sufficienti per mettere a frutto le nozioni comuni.
Ma il prigioniero C può fare una valutazione sulla situazione di D. Infatti se D avesse di fronte a sé due cappelli dello stesso colore (per esempio nero), potrebbe dedurre che il proprio cappello è dell’altro colore (quindi bianco) e aver salva la vita.
Se dopo il primo minuto il prigioniero D non fa nessuna dichiarazione fornisce indirettamente a C l’informazione di non essere nella condizione di mettersi in salvo e quindi i cappelli di fronte a D devono essere di due colori diversi.
A questo punto C ha informazioni sufficienti per dedurre che il proprio cappello deve essere di colore diverso da quello di B che è davanti a sé.
Quindi C dichiara di avere un cappello nero e si salva!

Indice articolo

Pagina 1. L'enigma dei prigionieri col cappello

Pagina 2. L'enigma dei prigionieri dagli occhi verdi

Pagina 3. L'enigma del compleanno

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *