Sulle pagine di questo blog ci siamo occupati in altre occasioni di argomenti riguardanti la statistica, come il teorema di Bayes e il paradosso di Simpson, o vari tipi di fallacie logiche e illusioni cognitive
In alcuni casi abbiamo portato degli esempi concreti, tratti dalla letteratura scientifica, come l’efficacia della mammografia o il caso di sessismo all’Università della California.
In questo articolo vediamo invece un caso in cui la scarsa competenza con la logica e la statistica hanno portato ad aggiungere sofferenza ad una vicenda che già dal principio aveva il carattere di una tragedia: il caso Sally Clark.

Il calcolo delle probabilità è una disciplina estremamente insidiosa e relativamente poco studiata anche a livello universitario. L’insidia consiste nel fatto che essa risulta particolarmente facile e intuitiva, addirittura banale, finché si applica a casi semplici come il classico lancio della moneta o di un dado.
Ma appena lo scenario si complica anche solo leggermente, se non si ha un opportuno addestramento, è facile cadere in errori tragici come quello che vedremo nel prossimo paragrafo. Prima però analizziamo un caso teorico che metta in luce il comportamento controintuitivo del concetto di probabilità.

Un vostro amico vi racconta di aver comprato una coppia di tartarughe.
Essendo rimasto entusiasta dell’acquisto, egli spera che le due tartarughe possano, crescendo, accoppiarsi ma ahimè non è in grado di capire se questa possibilità si possa realizzare.
Approfittando della vostra conoscenza delle leggi della probabilità, il vostro amico vi pone i seguenti quesiti.

Ho comprato queste due tartarughe con l’intenzione di farle accoppiare, ma non conosco il loro sesso e non ne so abbastanza di tartarughe da saperle distinguere. Che probabilità ci sono che siano un maschio e una femmina?

Ci pensate un attimo e date la risposta, corretta, che la probabilità è del 50%.
A questo punto il vostro amico rimane pensieroso e aggiunge una osservazione.

A pensarci bene, quando ho acquistato le due tartarughe, il venditore mi ha detto che sicuramente in uno dei due casi trattava di un maschio. Ora non sarei capace di identificarlo ma non ha importanza, perché essendo sicuro di essere in possesso di un maschio, anche se non conosco il sesso della seconda tartaruga, sono convinto che le probabilità di avere una coppia sono maggiori! Quello che non mi spiego è perché, siccome il dubbio è su una sola tartaruga, e questa può essere solo o maschio o femmina, le probabilità sono sempre solo 50%.

E’ qui che il problema inizia a farsi insidioso e necessita di un ragionamento più approfondito.
Spiegate al vostro amico che il fatto di conoscere il sesso di una delle due tartarughe non autorizza a scartarla dall’analisi. Tutt’altro.
La situazione complessiva si può vedere nella figura seguente, in cui sono rappresentate le 4 possibilità che possono verificarsi considerando i sessi delle tartarughe.

Nel primo caso analizzato, la probabilità del 50% era il risultato di aver considerato come valide due possibilità (quelle con i sessi opposti) su quattro.
Adesso però abbiamo l’informazione aggiuntiva che una delle tartarughe è sicuramente un maschio. Questo ci autorizza a scartare la combinazione femmina-femmina, ma non le altre tre. Quindi le probabilità di avere una coppia maschio-femmina saranno due su tre cioè il 67%.

A questa risposta il vostro amico rimane leggermente stupito, ma contento del fatto che la probabilità sia aumentata. Tuttavia, prima di chiudere l’argomento aggiunge:

Ora che ricordo meglio, il venditore aveva aggiunto un’altra cosa. Aveva detto che una delle tartarughe era un maschio nato di lunedì. Ma è sicuramente un’informazione di nessuna importanza. Non vedo come questo possa avere alcuna influenza sul sesso della seconda tartaruga!

Purtroppo però questa ulteriore informazione cambia tutto.

Nei casi precedenti, tutto ciò che si sapeva a proposito delle tartarughe era che ciascuna di esse poteva essere un maschio o una femmina. Ora sappiamo però che una sola delle due è un maschio “speciale”, cioè nato di lunedì. Quindi nel calcolo della probabilità dobbiamo fare questa distinzione.
Considerando il giorno di nascita, ciascuna tartaruga può capitare accoppiata con un’altra che può non solo essere maschio o femmina, ma anche essere nata in un giorno qualsiasi dal lunedì alla domenica. Ed essa stessa può essere nata in un giorno qualsiasi fra 7.
Quindi abbiamo 7 possibili tartarughe maschio accoppiate con 7 tartarughe maschio e 7 femmina più 7 possibili tartarughe femmina che a loro volta si possono accoppiare in 14 modi possibili.
In totale ci sono 14*14=196 combinazioni teoriche laddove prima ne avevamo solo 4!
Ovviamente non tutte le combinazioni sono possibili, perché sappiamo che una delle due tartarughe è un maschio nato di lunedì.
Includendo questa informazione possiamo quindi:

  • scartare le 49 combinazioni femmina-femmina, come avevamo fatto prima;
  • scartare tutte le combinazioni femmina-maschio e maschio-femmina in cui il maschio non è nato di lunedì;
  • scartare tutte le combinazioni maschio-maschio in cui uno dei due maschi non è nato di lunedì.

Quello che rimane sono 7 combinazioni maschio-femmina, 7 combinazioni femmina maschio e 13 combinazioni maschio-maschio.
Il totale delle combinazioni possibili è quindi 27 di cui ci interessano le 14 in cui abbiamo una coppia mista.
La probabilità risultante sarà quindi 14/27 cioè circa il 52%.

In maniera del tutto contro intuitiva, aggiungere una informazione, a prima vista del tutto irrilevante, ha fatto crollare la probabilità dal 67% al 52%.

Ciò che rende controintuitivo il risultato di questo esperimento mentale è il fatto che istintivamente tendiamo ad interpretare il calcolo della probabilità come un mezzo per rappresentare i rapporti di causa-effetto fra eventi reali quando invece esso interessa esclusivamente l’informazione che abbiamo di tali eventi.

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