Dal paradosso del sorìte alla frontiera frattale

Questo è il primo articolo in cui, anzichè limitarmi ad esporre fatti e teorie consolidate della scienza moderna, mi permetto di aggiungere un minimo di visione personale.
Non tanto nei concetti esposti, quanto nel cercare un collegamento fra di essi. Fare un passo indietro per guardare la foresta anzichè concentrarmi sugli alberi.
Per questo motivo ho bisogno di mescolare insieme alcuni argomenti nella speranza di far emergere gli aspetti che li accomunano e di cui si hanno diverse interpretazioni.
I due aspetti complementari che rappresentano il cuore di questo articolo sono la separazione e la vaghezza.
Ovviamente si tratta di due concetti presi nel loro uso scientifico; la separazione è da intendersi come il limite o la frontiera che separa due assiemi o un preciso valore che ci aiuta a definire l’appartenenza ad una classe. Ciò che è matematicamente “vago“, o come dicono altri è “sfumato“, o in inglese “graduate“, invece è un concetto in cui la separazione non è netta e in taluni casi non è neanche possibile definirla.
Nelle pagine che seguono cercheremo di precisare il significato di questi termini, ma prima di addentrarci nei dettagli matematici, prendiamola un po’ alla larga e spendiamo due parole su qualcuno che questa vaghezza la usava come un’arma… filosofica.

L’immagine rappresentata sopra è la celebre “Scuola di Atene” di Raffaello Sanzio, affresco realizzato tra il 1510 e il 1511 per adornare la Stanza della Segnatura su commissione di papa Giulio II della Rovere (cliccare sull’immagine per vederla a tutto schermo… Merita!) e in essa vi sono rappresentati i più famosi filosofi dell’antichità.
Quello che ci interessa in questa sede si chiama Eubulide da Mileto e alcuni studiosi lo hanno identificato con il personaggio un po’ nascosto nel gruppetto alla sinistra di Aristotele, di cui vediamo un ritaglio qui di fianco.
Eubulide fu a capo della cosiddetta scuola megarica, dopo il suo fondatore Euclide di Megara il quale la fondò nel IV secolo a.C.
Una particolarità della scuola megarica è la disciplina dell’eristica, una interpretazione della dialettica in cui si portava all’estremo l’arte della battaglia verbale. I megarici approfondirono tanto le tecniche della retorica, da perdere completamente l’interesse per la ricerca della verità, per concentrarsi sui mezzi espressivi necessari per affermarla sull’avversario.
Nonostante questa concezione abbia finito per gettare una luce negativa sulla filosofia sofista in generale, va riconosciuto che la ricerca filosofica della scuola megarica ha attraversato tematiche proprie della logica che sono state affrontate in maniera sistematica solo in epoche più recenti.

Il paradosso del sorìte

La filosofia di Eubulide, e degli appartenti alla scuola megarica, era basata fondamentalmente su una concezione bipolare della verità.
Dal momento che una proposizione poteva avere solo due valori di verità, vero o falso, era facile per loro imbattersi in situazioni in cui la ragione perveniva ad un assurdo.
Si deve proprio ad Eubulide quello che viene definito il paradosso del sorìte, dalla parola greca σωρίτης sōritēs aggettivo di σωρός sōros, che significa “mucchio”. E’ un paradosso che si può enunciare sia in versione positiva che negativa:

Un granello di sabbia non è un mucchio
Due granelli di sabbia non sono un mucchio
Tre granelli di sabbia non sono un mucchio
…
Aggiungendo un granello di sabbia a qualcosa che non è un mucchio non si ottiene MAI un mucchio

Oppure viceversa:

Togliendo un granello di sabbia ad un mucchio quello che rimane è ancora un mucchio
Togliendo un altro granello di sabbia ad un mucchio quello che rimane è ancora un mucchio
Siccome togliendo un granello di sabbia ad un mucchio ciò che rimane è sempre un mucchio, in quale momento il mucchio cesserà di essere tale?

Un paradosso analogo è il paradosso del calvo. Anche qui sembra perfettamente chiara la differenza fra una persona calva e una capelluta, ma se supponiamo di togliere un capello ad una persona capelluta, e poi un altro ancora, e poi ancora… in quale momento quella persona diventerà calva?

Per estensione si può adattare questo ragionamento a tante situazioni reali in cui si ha a che fare con entità composte da dante parti. Visto che non tutti gli organi di un essere vivente muoiono nello stesso istante, in quale momento un organismo vivo diventa morto? O in maniera più frivola, se ho un pupazzo costituto da tanti componenti, e questo pupazzo di chiama Billy, sostituendo i pezzi che lo compongono, iniziando per esempio da una gamba per finire alla testa, in quale momento esso cessa di essere Billy?

Lo scopo di Eubulide era di usare queste argomentazioni per dimostrare che la verità non esiste o per lo meno non è raggiungibile dall’uomo. Infatti utilizzando concetti, definizioni e ragionamenti in maniera rigorosa, si perviene a degli assurdi come quelli enunciati sopra. La ragione fallisce laddove il senso comune non ha nessuna difficoltà a gestire mucchi di sabbia e persone con pochi capelli.

Il problema è evidentemente dovuto al fatto che i due estremi che si considerano, mucchio o granello, calvo o capelluto, rappresentano gli estremi di una grandezza continua. Nella realtà noi abbiamo esperienza di tutti i gradi che tale grandezza può assumere, ma quando dobbiamo usare la logica siamo portati a semplificare il modello reale per considerne solo gli estremi: vero o falso.
C’è bisogno di paradossi come quelli di cui sopra, per rendersi conto che per far funzionare tutto è necessario individuare una linea di demarcazione, un valore quantitativo definito con precisione che permetta di distinguere in maniera inequivocabile i due estremi.
Quanti granelli ci vogliono per fare un mucchio? Quanti capelli deve avere in testa un capelluto?

Potrebbe sembrare che, una volta che ci si sia accordati su questi valori discriminanti, il problema sia risolto. Ma la linea di confine potrebbe essere piuttosto vaga.