La risposta frattale

Nel primo paragrafo abbiamo visto come la logica binaria si trovi in forte difficoltà nell’affrontare situazioni della vita quotidiana. Situazioni in cui ridurre delle grandezze continue in insiemi bene definiti può risultare in una sovrasemplificazione del problema e può portare a situazioni paradossali.
Nel secondo paragrafo abbiamo visto una possibile strada per superare le limitazioni della logica binaria passando attraverso delle funzioni di fuzzificazione che aggiungono le opportune sfumature alle categorie logiche tradizionali.
In questo paragrafo vorrei suggerire un campo d’indagine che trovo personalmente molto suggestivo e che, a quanto mi consta, finora non ha dato alcun frutto nell’ambito della logica in senso stretto.
Sto parlando della geometria frattale.
Negli esempi precedenti abbiamo esaminato casi in cui la transizione fra due stati contapposti avviene in maniera graduale. Dal granello al mucchio, dal capelluto al calvo, dal caldo al freddo eccetera.
In tutti questi casi un approccio fuzzy può effettivamente essere risolutivo per cogliere l’essenza del problema e riportare finalmente lo studio del problema fisico reale nell’ambito dell’analisi formale.
Ma che strumenti abbiamo per affrontare un caso in cui il passaggio dalla variabile in ingresso e quello in uscita sia effettivamente del tipo “tutto o niente”, senza sfumature. Ma tale che la differenza fra un valore e l’altro sia veramente piccola e basti una piccola alterazione del valore in ingresso per avere il risultato in uscita completamente stravolto?
In questo caso la linea sfumata che separa i valori di verità della nostra logica, non sarebbe tale perchè abbiamo ammesso l’esistenza di infiniti valori fra i classici 0 e 1, ma perchè abbiamo creato una mescolanza di zeri e uni tale che, ad una certa distanza, essi sembra che si fondano in un grigio indistinto. Ma che andando a guardare con attenzione la frontiera che li separa, si riveli una struttura infinitamente complessa di verità e falsità intrecciate fra loro.
Per visualizzare questo concetto prendo a prestito un frattale famoso come il frattale di Newton.
Il frattale di Newton è ciò che viene fuori quando si rappresentno i bacini di attrazione nello spazio delle fasi del sistema dinamico costituto dal metodo di Newton per la risoluzione delle equazioni algebriche.
Si tratta di un metodo iterativo. Vogliamo trovare gli zeri di un’equazione algebrica: f(x)=0.
Ipotizziamo un valore di partenza xn e lo sostituiamo nella formula di Newton che è ricavata a partire dalla f(x):

\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}

Ne otteniamo un valore xn+1 che sarà più vicino, rispetto al valore precedetne ad una delle radici cercate. Andremo poi a sostituire nuovamente nella formula di Newton il valore di xn+1 ripetendo il procedimento tante volte quanto riterremo necessario per raggiungere il valore della radice con la precisione desiderata.
La prima rappresentazione grafica del metodo di Newton si deve al matematico inglese Arthur Cayley.
La domanda che si pose Cayley era: “Considerando tutti i punti del piano complesso come valore di partenza per le varie iterazioni del metodo di Newton, a quale delle radici dell’equazione porterà l’iterazione?”
Essendoci tre radici è ragionevole aspettarsi che il piano sia diviso in tre regioni, ma la vera sorpresa vien fuori esaminando la frontiera che separa l’una dall’altra.
Si scopre che pervenendo da una zona di competenza di una radice per andare verso un’altra radice, si incontra sempre una regione che conduce ad una terza radice. Ovviamente questo crea una nuova interfaccia fra due altre radici e alla transizione fra queste due il fenomeno si ripresenta.
Se consideriamo l’equazione più semplice

\displaystyle x^{3}-1=0

saranno presenti 3 bacini di attrazione; indicando con i tre colori giallo, verde e blu, le zone che convergono ad una data radice, graficamente quello che viene fuori è visibile nell’immagine sotto.

newton_3_radici

In cui possiamo notare delle zone a forma di “goccia” che separano le varie regioni. E sulla frontiera di queste “gocce” vi sono altre gocce e così via all’infinito. Si crea una situazione in cui non possono coesistere due regioni adiacenti senza che vi sia la terza regione frapposta fra loro.
Se facciamo uno zoom nell’immagine precedente infatti troviamo ancora una immagine somigliante alla precedente:

newton_3_radici_zoom

Mentre la logica fuzzy ci viene in aiuto nei casi in cui la frontiera fra gli assiemi è sfumata, la frontiera frattale ci fa vedere cosa succede se varia la precisione con cui conosciamo i valori in ingresso al nostro problema.