Io so che tu sai che io so…

Vi è una branca della logica detta logica modale che si occupa di formalizzare il modo in cui le proposizioni possono essere vere o false. La logica modale si occupa di affermazioni del tipo “E’ possibile che…” oppure “E’ necessario che…”
All’interno della logica modale si distingue a sua volta una modalità epistemica che fa uso di operatori di conoscenza e credenza. Si occupa quindi di espressioni del tipo “Conosco che….”, “Credo che…”.
Nella cornice della logica modale si definisce il concetto di conoscenza comune. Si dice che una particolare informazione P è conoscenza comune se tutti gli agenti ne sono a conoscenza, ma anche che tutti sanno che tutti conoscono P, ma anche che tutti sanno che tutti sanno di conoscere P… e così via all’infinito.

Questo concetto, che può sembrare particolarmente assurdo a causa del regresso all’infinito, unito all’ipotesi che tutti gli agenti siano perfettamente razionali e quindi che compiano sempre delle scelte ottimali per salvaguardare il proprio interesse, porta alla formulazione di enigmi logici sorprendenti e divertenti in cui la loro soluzione e possibile solo sfruttando proprio l’ipotesi di conoscenza comune.
In questo articolo vi presento una raccolta di enigmi facilmente reperibili in rete in cui il concetto di conoscenza comune è centrale per la loro risoluzione.

L’enigma dei prigionieri col cappello

Quattro briganti della famigerata Banda del Cappello sono stati finalmente catturati dopo estenuanti ricerche da parte della guardia reale e per i loro efferati delitti sono stati condannati a morte.
Durante il parapiglia della cattura, i copricapi stravaganti da cui prende il nome la loro banda sono mischiati e quando finalmente i malfattori sono messi in catene, le guardie rimettono loro in testa i cappelli così come vengono rinvenuti, sì che ogni prigioniero non sa più quale cappello indossi sulla propria testa.
Per evitare sorprese durante l’esecuzione, i prigionieri sono stati sotterrati in modo che solo la testa col caratteristico cappello sia visibile, come in figura.

In uno slancio di generosità il boia concende a ciascuno di loro di potersi salvare nel caso in cui sia in grado di dichiarare il colore del cappello che ha in testa e concede loro 10 minuti per cercare di dare la propria risposta.
Sappiamo anche che:

• I prigionieri possono guardare solo nella direzione in cui sono orientati
• Forma e dimensioni dei cappelli sono ininfluenti e i prigionieri non possono farseli cadere dalla testa in modo da vederne il colore
• Fra A e B c’è un muro che impedisce al prigioniero da un lato di vedere quelli dall’altro e viceversa
• I 4 uomini sanno di avere 4 cappelli, di cui 2 sono bianchi e 2 sono neri.
• Nessuno di loro sa di che colore è il suo cappello
• Non possono parlare tra di loro.

Dopo un minuto uno di loro dà la risposta giusta e ha salva la vita.
Chi è e come ha fatto?

I dati presentati nell’elenco di cui sopra sono conoscenza comune perchè non solo tutti i prigionieri ne sono a conoscenza ma ciascun prigioniero sa anche che tutti i propri compagni possiedono le stesse informazioni. Il prigioniero che riesce a dare la risposta corretta deve basare il proprio ragionamento sull’uso che possono fare i suoi compagni della conoscenza comune.
Per i prigionieri A e B, essendo affacciati al muro, non c’è nessuna speranza in quanto non hanno informazioni sufficienti per mettere a frutto le nozioni comuni.
Ma il prigioniero C può fare una valutazione sulla situazione di D. Infatti se D avesse di fronte a sé due cappelli dello stesso colore (per esempio nero), potrebbe dedurre che il proprio cappello è dell’altro colore (quindi bianco) e aver salva la vita.
Se dopo il primo minuto il prigioniero D non fa nessuna dichiarazione fornisce indirettamente a C l’informazione di non essere nella condizione di mettersi in salvo e quindi i cappelli di fronte a D devono essere di due colori diversi.
A questo punto C ha informazioni sufficienti per dedurre che il proprio cappello deve essere di colore diverso da quello di B che è davanti a sé.
Quindi C dichiara di avere un cappello nero e si salva!