Io so che tu sai che io so…

L’enigma del compleanno

Per questo ultimo esempio, direttamente dai quesiti delle olimpiadi di matematica di Singapore dell’aprile 2015, abbandoniamo i prigionieri e consideriamo un semplice quadretto in cui una ragazza di nome Cheryl si diverte a comunicare ai suoi nuovi amici Albert e Bernard la propria data di compleanno. Ma lo fa in un modo alquanto particolare!

Cheryl vuole far indovinare la data del suo compleanno a due nuovi amici, Albert e Bernard. Ma lo fa fornendo 10 date possibili: 15, 16 e 19 maggio; 17 e 18 giugno; 14 e 16 luglio; 14, 15 e 17 di agosto. Poi dice ad Albert qual è il mese giusto, ma non il giorno. A Bernard dice il giorno ma non il mese.
A quel punto:

• Albert dice: “Io non so quando è il compleanno di Cheryl, ma so per certo che nemmeno Bernard lo sa”.
• Bernard risponde: “All’inizio non sapevo quando fosse il compleanno, ma ora lo so”
• Albert: “Allora anche io so quando è il compleanno”

Quando è nata Cheryl?

Anche per la soluzione di questo quesito, è importante far uso della conoscenza comune. All’inizio del gioco Albert e Bernard hanno in comune la conoscenza dei giorni possibili, in quanto Cheryl li rivela ad entrambi. Inoltre anche il fatto che Albert conosca il mese giusto e Bernard il giorno sono conoscenze comuni e, come abbiamo visto, questa informazione è in sé una leva logica importante. Le successive dichiarazioni dei giocatori non fanno altro che aumentare le informazioni che di volta in volta diventano conoscenza comune finché non raggiungono il punto in cui rendono possibile la determinazione della data da parte di entrambi i giocatori.
Ma per i lettori? Ecco la soluzione.

Le date possibili sono dieci, come rappresentato in questa tabella.

Come si vede chiaramente dalla tabella, le due date del 19 maggio e 18 giugno non presentano alcuna ambiguità sul mese. Quindi una persona, cioè Bernard, che fosse a conoscenza solo del giorno potrebbe individuare immediatamente anche il mese.
La prima dichiarazione di Albert, che conosce il mese, ci dice che Bernard non può indovinare e l’unico modo affinchè lui possa dirlo è che il mese del complenanno non sia nà maggio nè giugno. Possiamo quindi di escludere in un colpo solo sia i due giorni 18 e 19, sia i due mesi maggio e giugno e la tabella si riduce così:

Nel momento in cui Albert fa la sua dichiarazione aumenta la conoscenza comune e permette a Bernard di giungere alla medesima conclusione. Ma Bernard adesso può fare un passo in più.
Dalla tabella notiamo che l’unica data che ha un’ambiguità sul mese è il 14, ma per Bernard non è un problema perchè conosce il giorno e, nel momento in cui afferma di conoscere la data completa, comunica implicitamente che per lui non c’è più alcuna ambiguità sul mese.
Dal punto di vista di Albert questo significa che anche il giorno 14 deve essere cancellato dalla tabella che adesso si riduce a:

A questo punto Albert, che conosce il mese individua facilmente anche il giorno e fornisce a noi l’informazione implicita che, per affinché lui possa individuare la data complesta con certezza questo deve essere nell’unico mese per cui non c’è ambiguità sul giorno. Cioè il 16 luglio!

Come abbiamo visto in questi tre esempi, il concetto di conoscenza comune può essere molto potente in ambito logico/matematico, ma curiosamente essi ci presentano anche inaspettato risvolto morale: quanto potremmo migliorare le nostre scelte e le nostre azioni, anche nella vita di tutti i giorni, se imparassimo a vedere il mondo attraverso gli occhi delle persone che ci circondano!
In fondo non è detto che l’empatia debba essere limitata agli aspetti emozionali delle nostre relazioni, ma anche sviluppare una sorta di “empatia razionale” può aiutarci a comprenderci meglio l’un l’altro.