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L’enigma dei prigionieri dagli occhi verdi

Anche di questo enigma è possibile trovare diverse varianti in rete, alcune che coinvolgono amazzoni dai mariti infedeli o bambini con la faccia sporca di fango. La versione che presento qui riprende il tema dei prigionieri ma con qualche elemento in più al contorno.

Il dittatore di uno stato di fantasia, per timore che diventino dei pericolosi oppositori rivoluzionari, racchiude su un isola/penitenziario un certo numero, diciamo 100, di prigionieri famosi per essere persone particolarmente intelligenti. Tanto intelligenti da poterli considerare giocatori perfettamente razionali, cioè in grado di attuare immediatamente e istantaneamente la strategia ideale per avvantaggiarsi all’interno di un gioco.
Il carcere in cui vengono rinchiusi è quindi un carcere di massima sicurezza da cui finora nessuno è mai riuscito a fuggire, tanto che la popolazione attuale dell’isola è costituita da persone nate e cresciute in condizione di prigionia. Un’altra caratteristica peculiare di questo carcere è che non esistono superfici riflettenti di alcun tipo e vi è il divieto assoluto di parlare del colore degli occhi di chiunque. Questo perchè, a causa di una supertizione locale, se un prigioniero si rivolgesse alle guardie di notte e chiedesse di essere lasciato fuggire, nel caso in cui egli avesse gli occhi verdi, avrebbe effettivamente restituita la libertà. Viceversa, se i suoi occhi non fossero verdi, verrebbe freddato all’istante.
Si da il caso che tutti e 100 i prigionieri dell’isola abbiano gli occhi verdi, ma il dittatore, forte delle misure di sicurezza in atto, sa che, siccome nessun prigioniero è sicuramente a conoscenza del colore dei propri occhi, anche potendo vedere quelli dei propri compagni, non rischierebbe di morire in un tentativo di fuga.
Finchè un giorno un osservatore internazionale si reca in visita alla prigione per verificare che non vi siano violazioni dei diritti umani. Il visitatore, non avendo trovato appigli per denunciare direttamente il dittatore cerca comunque di mettere in salvo i prigionieri e, poco prima di lasciare l’isola, fa un annuncio in modo tale che tutti i prigionieri possano ascoltarlo:
“Su quest’isola vi è almeno un prigioniero dagli occhi verdi“.
Il dittatore non dà particolare peso alle parole dell’osservatore in quanto ogni prigoniero può vedere facilmente da sé che vi sono altri prigionieri dagli occhi verdi, ma non avendo modo di capire di che colore siano i propri, non può usare questa informazione a proprio vantaggio.
Quindi l’osservatore lascia l’isola e il dittatore continua a dormire sonni tranquilli.
Purtroppo per lui, però, all’alba del 101 giorno tutti i prigionieri sono andati via sani e salvi.
Come si spiega questo fatto?

Anche in questo caso la soluzione del problema richiede l’utilizzo della conoscenza comune. Infatti quando l’osservatore fa il suo annuncio, fa in modo che tutti lo sentano contemporaneamente. Quindi non solo tutti acquisiscono l’informazione, ma sanno anche che tutti sanno!
Questo cambia di molto le carte in tavola.
Per capire come, immaginiamo per un attimo che i prigionieri siano solo 2, diciamo Antonio e Bruno. Antonio, non sa di che colore siano i propri occhi, ma vede gli occhi di Bruno. Se Antonio vedesse che Bruno ha gli occhi marroni saprebbe, dalle parole dell’osservatore, che la persona con gli occhi verdi è proprio lui e potrebbe lasciare l’isola la sera stessa. Ma Antonio vede che Bruno ha gli occhi verdi quindi non può fare nessuna ipotesi sui propri occhi ed è costretto ad aspettare e far passare la prima notte.
Il giorno successivo sia Antonio che Bruno sono ancora sull’isola e realizzano istantaneamente di aver fatto entrambi lo stesso ragionamento il giorno prima e quindi le persone con gli occhi verdi devono essere almeno 2 e quindi alla sera del secondo giorno possono entrambi lasciare l’isola in tutta sicurezza.
La soluzione dell’enigma si realizza ripetendo questo ragionamento un numero arbitrario di volte.
In altre parole, se le persone fossero n, il primo giorno sappiamo che c’è almeno una persona con gli occhi verdi e che quella persona, se fosse la sola, vedrebbe attorno a se n-1 persone con gli occhi non verdi e saprebbe di poter fuggire. Ma se dopo il primo giorno, quella persona non è fuggita, significa (e questo lo sanno tutti) che ci sono almeno due persone con gli occhi verdi e ciascuna di queste persone vede una sola altra persona con gli occhi verdi. Quindi queste persone sono libere di fuggire nella notte del secondo giorno.
Se all’alba del terzo giorno quelle persono sono ancora sull’isola significa che le persone con gli occhi verdi sono almeno 3 e il ragionamento si ripete. Il numero di prigionieri ovviamente può essere arbitrariamente grande, ma per concludere l’esempio presentato, alla mattina del 99-esimo giorno tutti e 100 i prigionieri constateranno di essere ancora lì e ne dedurranno che le persone con gli occhi verdi devono essere almeno 99. Alla mattina del 100-esimo giorno dedurranno che le persone con gli occhi verdi devono essere tutte e 100 e quella stessa notte lasceranno l’isola. (Liberamente tratto da Ted-ed)