Elezioni e paradossi

Il teorema, una dimostrazione discorsiva

Nella sua dimostrazione, Arrow utilizza un formalismo molto preciso che qui sarebbe eccessivamente dettagliato. Cerchiamo però di capire il ragionamento che sta alla base del teorema con delle considerazioni più generali.
Innanzitutto Arrow introduce la definizione di insieme decisivo.
Per farla breve, se in una competizione fra Aldo e Bruno ha vinto Aldo, allora l’insieme di tutti quelli che hanno votato Aldo su Bruno è un insieme decisivo.
In questo assieme possono esserci anche molti più voti di quelli che sarebbero stati necessari ad Aldo per vincere.
Arrow definisce anche un assieme decisivo minimale. Cioè quell’assieme a cui basta togliere un votante perchè non sia più decisivo.
La legge di scelta sociale ovviamente non si deve limitare a considerare solo sistemi a due candidati; non solo sarebbe troppo facile, ma il primo assioma lo esclude.
Quindi abbiamo tanti elettori e tanti candidati e gli assiemi decisivi non riguardano esclusivamente la vittora della competizione elettorale generale, ma anche semplicemente una preferenza fra due qualsiasi candidati.
Quindi se consideriamo Aldo che vince su Bruno ci sarà l’assieme decisivo per Aldo; se consideriamo Bruno che vince su Carlo, ci sarà l’assieme decisivo per Bruno e così via per tutte le combinazioni.

Un elettore può avere la preferenza A>C>B e quindi può far parte dell’assieme decisivo per Aldo infatti per lui A>B ma avere una preferenza per Carlo e quindi essere fuori dall’assieme decisivo per Bruno su Carlo.

Di fatto per ogni assieme decisivo esiste un suo complemento, costituito da tutti i votanti che hanno scelto l’opzione perdete. E data una qualsiasi coppia di candidati, ogni elettore si trova o nell’assieme decisivo o in quello opposto (complementare).

Adesso facciamo una simulazione i cui attori sono i soliti tre candidati: Aldo, Bruno e Carlo.
Inoltre avremo un assieme dei Vittoriosi che supporremo decisivo minimale e un assieme dei Perdenti, che sono tutti quelli che hanno votato a sfavore del vincitore.
A sua volta l’assieme dei Vittoriosi supponiamo che sia composto da un Mister X più un assieme di altri votanti Generici.
Supponiamo che la distribuzione sia quella mostrata in tabella.

Dalla tabella vediamo, come ci aspettavamo dalla sua definizione, che V è decisivo per A>B in quanto in entrambe le colonne troviamo A>B.
Inoltre G preso da solo non può essere decisivo perchè se V è minimale, togliendogli Mister X ciò che rimane (cioè G) non è più decisivo per definizione di minimalità.
Consideriamo adesso l’assieme G. Di esso sappiamo che i suoi appartenenti preferiscono C a B. Purtroppo per loro questo non è sufficiente a rendere la preferenza C>B una legge globale perchè sia Mister X che l’assieme dei Perdenti la pensano diversamente.
E non potrebbe neanche essere sufficiente il peso di G far vincere C su B perchè questo renderebbe l’assieme G decisivo e V non minimale, mentre avevamo supposto il contrario.
In definitiva, a livello globale, non può essere C>B e quindi dovrà essere B>C.
Unendo quest’ultimo risultato con quanto sappiamo da prima viene fuori la catena di preferenze: A>B>C.
Questa catena di preferenze esiste perchè abbiamo supposto che l’ordine delle preferenze sia lineare e quindi deve valere la proprietà transitiva. Se togliessimo questo vincolo ci troveremmo nuovamente il paradosso di Condorcet fra i piedi.
Notiamo adesso che anche Mister X preferisce A su C, al contrario di tutti gli altri e questo fa di lui un assieme decisivo per la coppia A, C. Questo contraddice la minimalità di V quindi l’unica possibilità e che nell’assieme V ci sia esclusivamente un elemento: Mister X.
Con questo ragionamento Arrow ci mostra che, dati gli assiomi di cui abbiam parlato, esiste sempre un elettore che risulta decisivo per almeno una preferenza fra due alternative.
Nel seguito della dimostrazione egli usa l’assioma di unanimità per dimostrare che Mister X è decisivo per qualunque scelta fra due alternative. Questo fa di lui un dittatore.

Per definizione il dittatore è l’elettore la cui opinione è quella che, in ogni alternativa possibile, diventa legge globale rispetto a tutte le altre, quindi quello che abbiamo chiamato mister X, se sono soddisfatti gli assiomi del teorema esiste ed è un dittatore.
Oppure se consideriamo l’assioma di non dittatorialità, perveniamo ad un assurdo e dobbiamo convenire che non esiste un sistema perfettamente democratico che soddisfi tutti gli assiomi di Arrow.

Il teorema di impossibilità mette in relazione diverse proprietà che ragionevolmente ci aspetteremmo che siano rispettate in un sistema perfettamente democratico e fa vedere che sono incompatibili fra di loro.
Per avere un sistema reale bisogna farsi degli sconti, rilassare la richiesta di uno o più assiomi e accettarne le conseguenze, dal paradosso di Condorcet, al conteggio di Borda e persino la nascita di una dittatura.