Elezioni e paradossi

Il teorema di impossibilità di Arrow

Il teorema dell’impossibilità di Arrow prende il nome dal suo ideatore, Kenneth Arrow che lo formulò nel 1951 e che gli valse il premio Nobel per l’economia nel 1972.
Grazie al lavoro di Arrow, il problema della decisione collettiva viene affrontato in maniera matematicamente rigorosa e il risultato, che come spesso avviene per i teoremi di impossibilità, è leggermente destabilizzante, viene spesso citato attraverso slogan paradossali come: “l’unico sistema di voto democratico è la dittatura!”.
Ma cosa dice realmente il teorema di Arrow?
Innanzitutto Arrow elenca una serie di assiomi che secondo lui un sistema di scelta sociale dovrebbe avere per potersi definire “democratico”. Quindi un sistema è perfettamente democratico se rispetta tutti gli assiomi di Arrow e tutti gli assiomi di Arrow sono rispettati in un sistema perfettamente democratico.
Arrow dimostra che tutti questi assiomi non possono essere rispettati contemporaneamente con la conseguenza che un sistema perfettamente democratico non può esistere.
Ovviamente tutto si gioca su quali siano questi assiomi e se sia veramente ragionevole pretendere che siano tutti rispettati. Dal rilassamento di uno o più di questi assiomi si caratterizzano i sistemi di scelta sociale esistenti ed impiegati nella realtà.
Formalmente, l’agomento del teorema è un ipotetico criterio di scelta sociale. Cioè una legge che permette di passare da un insieme di preferenze individuali ad un insieme di preferenze sociali. Questa legge potrebbe essere uno dei criteri di voto di cui abbiamo parlato al paragrafo precedente, per esempio la maggioranza semplice.
Vediamo uno ad uno gli assiomi di Arrow, i quali presi singolarmente sembrano semplici e perfettamente ragionevoli. Rappresentano delle caratteristiche che sembra naturale pretendere da un criterio di scelta sociale. Eppure presi tutti insieme, contemporaneamente, hanno un effetto devastante.

• Non banalità: nel sistema di scelta considerato devono esserci almeno due votanti e almeno tre alternative. Beh… è banale!
• Universalià o Dominio non ristretto: non devono esserci restrizioni alle preferenze dei votanti. Cioè ciascun votante può avere le preferenze più disparate fra le alternative possibili. Lo stato non deve porsi il problema della moralità o della razionalità delle scelte dei cittadini, altrimenti ne negherebbe la sovranità.
• Monotonia: la funzione di scelta sociale deve avere lo stesso segno delle scelte dei votanti. Cioè se un elettore aumenta la sua preferenza nei confronti di un candidato, la funzione di scelta sociale deve rispecchiare questo aumento o al più rimanere invariata. Non può diminuire.
• Sovranità Popolare: se la funzione di scelta sociale preferisce A a B allora deve esistere almeno un votante che preferisce A a B.
• Unanimità o Efficienza di Pareto: se tutti i votanti preferiscono A a B allora anche il criterio sociale deve preferire A a B. Al limite, se tutti i votanti tranne uno sono indifferenti fra A e B, allora vale la preferenza dell’unico non indifferente.
  Questo assioma in realtà è equivalete ai due precedenti messi insieme quindi in alcune formulazioni del teorema è presente quest’ultimo e in altre gli altri due.
• Invarianza alle alternative irrilevanti o assioma di rilevanza binaria: si tratta della proprietà di cui abbiamo parlato al proposito del metodo di Borda. La legge di scelta sociale deve essere tale che la preferenza fra due alternative non deve essere influenzata dalle altre opzioni in gioco.
• Razionalità: la regola deve fornire un ordinamento completo e transitivo di tutte le opzioni possibili. Cioè se A>B e B>C allora A>C.
• Non dittatorialità: la regola di scelta collettiva non deve essere determinata dalla scelta di un singolo cittadino. Arrow infatti definisce “dittatore” un cittadino le cui preferenze personali diventano anche preferenze globali

Prima di lanciarci nella dimostrazione del teorema facciamo alcune osservazioni preliminari riguardanti gli assiomi.
Se rilassiamo la richiesta del primo assioma, quello di non banalità, possiamo dire che in presenza di due sole alternative il sistema di votazione a maggioranza assoluta soddisfa tutti gli altri assiomi. Ed è anche l’unico.
Se rilassiamo la richiesta dell’assioma di rilevanza binaria, il meccanismo di Borda soddisfa tutti gli altri assiomi.
Il teorema di Arrow dimostra che non esiste un sistema che soddisfi tutti gli assiomi sopra esposti ma a volte viene enunciato scorporando l’assioma di non dittatorialità e dicendo che l’unico sistema che soddisfa tutti gli altri assiomi è la dittatura.